付停车费之和为随机变量ξ,ξ的所有取值为0,1,2,3,4,5.РP(ξ=0)=×=,РP(ξ=1)=×+×=,РP(ξ=2)=×+×+×=,РP(ξ=3)=×+×+×=, P(ξ=4)=×+×=,P(ξ=5)=×=.Р所以ξ的概率分布为:РξР0Р1Р2Р3Р4Р5РPР∴ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.Р6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线x2=2py(p>0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2.Р(1)求抛物线的方程;Р(2)如图,点E是抛物线上异于原点的点,抛物线在点EР处的切线与x轴相交于点P,直线PF与抛物线相交于A,B两点,求△EAB面积的最小值.Р解:(1)抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,因为M(m,1)到焦点F的距离为2,由抛物线定义,知MF=1+=2,即p=2,所以抛物线的方程为x2=4y. Р(2)因为y=x2,所以y′=x.Р设点E,t≠0,则抛物线在点E处的切线方程为y-=t(x-t).Р令y=0,则x=,即点P.Р因为P,F(0,1),所以直线PF的方程为y=-,即2x+ty-t=0.Р则点E到直线PF的距离为d==. Р联立方程消去x,得t2y2-(2t2+16)y+t2=0.Р设A(x1,y1),B(x2,y2),Р因为Δ=(2t2+16)2-4t4=64(t2+4)>0,y1+y2=,Р所以AB=y1+1+y2+1=y1+y2+2=+2=. Р所以△EAB的面积为S=××=×.Р不妨设g(x)=(x>0),Р则g′(x)=(2x2-4).Р因为x∈(0,)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,)上单调递减; Рx∈(,+∞)上,g′(x)>0,所以g(x)在(,+∞)上单调递增.Р所以当x=时,g(x)min==6.Р所以△EAB的面积Smin=×6=3.Р所以△EAB的面积的最小值为3.
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