则S126=________.解析:题图②中的三角形数表,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,有1个1,第2次全行的数都为1的是第2行,有2个1,第3次全行的数都为1的是第4行,有4个1,依此类推,第n次全行的数都为1的是第2n-1行,有2n-1个1.第1行,1个1,第2行,2个1,第3行,2个1,第4行,4个1;第1行1的个数是第2行1的个数的,第2行与第3行1的个数相同,第3行1的个数是第4行1的个数的;第5行,2个1,第6行,4个1,第7行,4个1,第8行,8个1;第5行1的个数是第6行1的个数的,第6行与第7行1的个数相同,第7行1的个数是第8行1的个数的.根据以上规律,当n=8时,第28-1行有128个1,即S128=128,第127行有64个1,即S127=64,第126行有64个1,即S126=64.答案:6416.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,于五世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”是几何体的高,“幂”是截面积.意思是,两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.现有下题:在xOy平面上,将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3)、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D,如图所示阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面面积为4π+8π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为________.解析:根据提示,一个底面半径为1,高为2π的圆柱平放,一个高为2,底面积为8π的长方体,这两个几何体与Ω放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故它们的体积相等,即Ω的体积为π·12·2π+2·8π=2π2+16π.答案:2π2+16π
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