点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程:(Ⅱ)设A、B为势物线G上异于原点的两点,且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值.解:(I)设切点.由,知抛物线在点处的切线斜率为,故所求切线方程为.即.因为点在切线上.所以,,.所求切线方程为.(II)设,.由题意知,直线的斜率存在,由对称性,不妨设.因直线过焦点,所以直线的方程为.点的坐标满足方程组得,由根与系数的关系知.因为,所以的斜率为,从而的方程为.同理可求得..当时,等号成立.所以,四边形面积的最小值为.9.(江西卷)已知抛物线和三个点,过点的一条直线交抛物线于、两点,的延长线分别交曲线于.(1)证明三点共线;(2)如果、、、四点共线,问:是否存在,使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点?如果存在,求出的取值范围,并求出该交点到直线的距离;若不存在,请说明理由.22.(1)证明:设,则直线的方程:即:因在上,所以①又直线方程:由得:所以同理,所以直线的方程:令得将①代入上式得,即点在直线上所以三点共线(2)解:由已知共线,所以以为直径的圆的方程:由得所以(舍去),,要使圆与抛物线有异于的交点,则所以存在,使以为直径的圆与抛物线有异于的交点则,所以交点到的距离为.(陕西)已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.解法一:(Ⅰ)如图,设,,把代入得,xAy112MNBO由韦达定理得,,,点的坐标为.设抛物线在点处的切线的方程为,将代入上式得,直线与抛物线相切,,.即.(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,.由(Ⅰ)知.轴,.又.,解得.即存在,使.解法二:(Ⅰ)如图,设,把代入得.由韦达定理得.,点的坐标为.,,抛物线在点处的切线的斜率为,.(Ⅱ)假设存在实数,使.
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