于是当n≥3时,2n+2>n2,从而有:当n≥3时da1n+ba1>n2,即n2-da1n-ba1<0,于是当n≥3时,关于n的不等式n2-da1n-ba1<0有无穷多个解,显然不成立,因此数列{}中是不存在无穷多项依次成等差数列.……………………………………16分4、解:(1)由3T1=S12+2S1,得3a12=a12+2a1,即a12-a1=0.因为a1>0,所以a1=1.………………………2分(2)因为3Tn=Sn2+2Sn,①所以3Tn+1=Sn+12+2Sn+1,②②-①,得3an+12=Sn+12-Sn2+2an+1.因为an+1>0,所以3an+1=Sn+1+Sn+2,③………………………5分所以3an+2=Sn+2+Sn+1+2,④④-③,得3an+2-3an+1=an+2+an+1,即an+2=2an+1,所以当n≥2时,=2.………………………8分又由3T2=S22+2S2,得3(1+a22)=(1+a2)2+2(1+a2),即a22-2a2=0.因为a2>0,所以a2=2,所以=2,所以对n∈N*,都有=2成立,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.………………………10分(3)由(2)可知S n=2n-1.因为S1,Sk-S1,St-Sk成等比数列,所以(Sk-S1)2=S1(St-Sk),即(2k-2)2=2t-2k,………………………12分所以2t=(2k)2-3×2k+4,即2t-2=(2k-1)2-3×2k-2+1(*).由于Sk-S1≠0,所以k≠1,即k≥2.当k=2时,2t=8,得t=3.………………………14分当k≥3时,由(*),得(2k-1)2-3×2k-2+1为奇数,所以t-2=0,即t=2,代入(*)得22k-2-3×2k-2=0,即2k=3,此时k无正整数解.综上,k=2,t=3.………………………16分
全文预览
