,….Р定理3.3 设是函数的一个极点,则当,.Р证设是阶的极点,的主要部分:Р Р Р当,括号内趋近于.所以当,.Р定理3.4 在一个阶的极点的邻域内,函数可以表示为下形:Р,Р其中在为正则,并不为零.Р由于在为正则并不为零,则在为正则并不为零.所以Р,Р在有一个阶的零.Р反过来,如果是的阶的零,则是的阶的极点.Р综上,如果函数以点为孤立奇点,则下列三条是等价的.因此,它们中的任何一条都是阶极点的特征.Р (1)在点的主要部分为Р ;Р (2)在点的某去心邻域内能表成Р ,Р其中在点邻域内解析,且.Р (3)以点为阶零点(可去奇点要当作解析点看,只要令).Р例函数以为几阶零点?函数以为几阶极点?Р解: 显然,Р且.Р因此以为一阶零点.根据上面的极点的特征知就是的一阶极点.Р例函数以(是整数)为几阶极点?Р解: 考虑函数,显然Р,Р且,Р Р .Р因此以为二阶零点.就是的二阶极点.Р 本质奇点Р 定理3.5 函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是Р ,即不存在.Р定理3.6 若为函数之一本质奇点,且在点的充分小去心邻域内不为零,则亦必为的本质奇点.Р证命.由假设,必为的孤立奇点.若为的可去奇点(解析点),则必为的可去奇点或极点,此与假设矛盾;若为的极点,则必为的可去奇点(零点),亦与假设矛盾.故必为的本质奇点.Р例4 为的本质奇点.因为Р. Р由定理3.6,我们可以确定亦为的本质奇点.在上式中将改成,也可看出这一点.Р4 无穷远点是奇点的情形Р定义如果在内解析,为某一个正数,则称为的孤立奇点.Р令,以及.Р若为的孤立奇点,则为的孤立奇点,因为这时在的邻域内为解析.这样便把在的邻域内的性质化为在的邻域内的性质来研究.Р定义4.2 若为的可去奇点,则称是的可去奇点.Р利用为的可去奇点的充要条件,即可得到为的可去奇点的充要条件.Р定理4.1 为的可去奇点的充要条件为Р,Р在内成立.
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