是中学阶段,还有一个少部分人所掌握的方法. Р3.1.2 转化法Р例3.1.2 求函数与其反函数的交点.Р解:联立方程Р从而解得交点为和. Р这个方法显然将问题极为的简化了,并且得出了正确的答案,但是在我们深入思考后,会发现另一个问题. Р例3.1.3求函数与其反函数的交点. Р解:联立方程Р得Р这个显然是无解的,即函数与反函数没有交点. Р通过图二会发现函数与其反函数是同一函数,即两函数任意点都相交,与结论中无一个公共点的结论是截然不同的. 显然,转化法只能针对于某些特定的情况才能得到正确的答案,因此对于互为反函数交点的探究具有一定的作用.Р 3.2 互为反函数的交点问题的相关命题Р通过对反函数性质的研究,让我们对于如何求互为反函数交点问题有更为深入的了解. Р定理3.2.1互为反函数的两函数的图像若有交点,则交点必在直线上,或关于直线对称地成对出现. Р证明:设点是函数与其反函数的交点,若,则点在直线上;,则有,,故,,即点也是此函数图像的交点,所以此时这两函数的图像的交点关于直线对称.Р通过对定理3.2.1的证明,我们可以知道反函数的交点如果存在,则分布情况有且只有在直线上或关于直线对称的情形. 显然例3.1.2属于交点在直线上,而例3.1.3属于交点关于直线对称. 那么是否存在互为反函数的交点既有在直线上又有关于直线对称的情况呢?Р例3.1.4求函数与其反函数的交点. Р分析:通过图三我们可以知道函数本身即关于直线对称,并且与直线有两个交点. 因此,根据反函数与原函数关于直线对称,我们可以知道函数函数与其反函数的交点关于直线对称,并且在直线上有两个交点. Р那么转化法的使用,必然有着一定的条件限制. Р定理3.2.2 若函数为严格增函数,且与它的反函数的图像有交点,则交点必在直线上. Р证明:设点是函数与其反函数的交点,则有,且. 下面用反证法证明. 若,即,又因为
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