无穷小量与无穷大量(PPT课件)

| >M, 则称函数ƒ(x)为该变化过程下的无穷大量. 记为Р注1.无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而不是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量).Р注2.通常Р例Р记为Р是极限不存在的记号; 但它又Р不同于变量Р(无限增大的趋势).Р6Р无穷小量与无穷大量的关系:Р定理9. 在自变量的同一变化趋势下, 无穷大量的倒数为无穷小量;非零无穷小量的倒数为无穷大量.Р由此定理可知, 要证Р例21.求Р只需证Р即可.Р7Р(1).若Р三. 无穷小量阶的比较Р无穷小量都是以0为极限, 但它们趋于0的“速度”却不一定相同.例Рy=2xРy=xР为了描述这种情况, 有下述定义:设α(x), β(x)是同一极限过程中的两个无穷小量,Р,则称α(x)是比β(x)更高阶的Р无穷小量,记为α(x) = o(β)Р8Р(3).若,则称α(x)是比β(x)更低阶的无穷小量, 记为Р(2).若,则称α(x)与β(x)是同阶的无穷小量,Р特别地, 当C = 1时, 则称α(x)与β(x)是等价的无穷小量, 记为Рα(x) ~ β(x)Рα(x) = O(β(x)).Р例Р故当 x→0时, x与2 x 是同阶的无穷小量.Р故当 x→0时, x2是比 x 更高阶的无穷小量.Р故当 x→∞时, 1/x 是比 1/x 更高阶的无穷小量.Р故当 x→0时,sin x与x是等价的无穷小量.Р9Р定理10. α与β是等价的无穷小量的充要条件是α= β+ o(β).Р定理11. 若在同一极限过程中, α, β, γ均为无穷小量, 则? (1). α~ α; (反身性)? (2).若α~ β; 则β~ α; (对称性)? (3).若α~ β, β~ γ; 则α~ γ; (传递性)? (4).若α~ β; 则αγ~ γβ.Р四. 无穷小量代换原理Р10