【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测（七） 椭圆及其标准方程 Word版含解析

点在C上,则|AN|+|BN|=________.解析:取MN的中点G,G在椭圆C上,因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,故有|GF1|=12|AN|,|GF2|=12|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12.答案:127.已知点P在椭圆上,且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.解:法一:设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0),由已知条件得2a=5+3,?2c?2=52-32,解得a=4,c=2,所以b2=a2-c2=12.于是所求椭圆的标准方程为x216+y212=1或y216+x212=1.法二:设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0),两个焦点分别为F1,F2.由题意知2a=|PF1|+|PF2|=3+5=8,所以a=4.在方程x2a2+y2b2=1中,令x=±c,得|y|=b2a;在方程y2a2+x2b2=1中,令y=±c,得|x|=b2a.依题意有b2a=3,得b2=12.于是所求椭圆的标准方程为x216+y212=1或y216+x212=1.8.如图在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,故a=52,c=1,b2=a2-c2=254-1=214.故点M的轨迹方程为x2254+y2214=1.