利用导数研究函数性质数学系毕业论文

Р 在上恒成立Р 在上, ;Р 又在上恒成立在上恒成立,Р 又在上, Р 综上所述,的取值范围是Р(三)利用导数求函数的极值、最值Р 极值的定义:设函数在点的某领域内有定义,若在该领域内异于的点恒有Р (Ⅰ).若,那么称为函数的,为极大值点;Р (Ⅱ).若,那么称为函数的,为极小值点。Р极值分为极大值和极小值。Р求极值或最值的方法:Р⑴求的根;Р⑵若时,;时,,则在点处取得极大值,Р 若时,;时,,则在点处取得极小值,Р 若时,;时,,则在点处无极值,Р 若时,;时,,则在点处无极值。Р⑶若还要求最值,则需加一个步骤,对于闭区间,需要算一下两个端点的函数值,然后Р 将所有的极值和端点的函数值作比较,得出最大值和最小值。Р注意:①函数的极大值和极小值可以不止一个,也就是说函数的极值不唯一。Р ②极小值可以大于极大值,极大值也可以小于极小值,因此二者之间没有确定的Р 大小关系。Р ③若在区上续,则在上必有最值和小值。Р ④的极值是针对局部而言的,而最大值与最小值是针对整体而言的,即定义Р 域内的最大或最小;函数的极值点一定在区间内部取得,函数的最大最小值不Р 一定都存在于区间内部,也有可能存在于区间的端点处。Р ⑤也可利用函数的单调性求的最值,如果在上单调递增,则Р 的最大值为,最小值为;如果在上单调递减,则的Р 最大值为,最小值为。Р例1 已知函数Р ⑴求的极值;Р ⑵若对任意的,,。Р 解: ⑴,令,得Р 随着的变化,的变化情况如下表:Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р 递增Р Р 递减Р Р 递增Р 由上表可知,在,且=Р 在,且Р⑵令,在上恒成立,Р 即在上恒成立,其中Р ①若,即时,显然,Р ②若,即时, ,Р 令,解得,Р 当时,,在上;Р 当时, ,在上Р 故在,Р 时,Р 即解得,Р 因此当时,要使恒成立,的范围为Р 结合①、②,的取值范围为