> 1 等价于 exlnx+2ex-1x>1. 即 exlnx+2exex>1; 由公式 2有 ex≥ ex. 所以 exlnx+2exex ≥ exlnx+2 , 所以要使 exlnx+2exex ≥ exlnx+2>1 成立,只需证 exlnx+2>1 , 即 exlnx+1>0 成立.设h(x) =exlnx+1 ,有 h′(x) =e( lnx+1 ) 所以当 x∈0, 1e时,h′(x) <0 ,当x∈ 1e,+∞时,h′(x) >0 , 故h(x )在 0, 1e 单调递减,在 1e,+∞单调递增, 所以 h(x) max=h ( 1e) =0. 所以有 exlnx+2exex>1 成立. 2.( 2013 课标全国Ⅱ,理 21 )已知函数 f(x) =ex-ln ( x+m ). (1 )设 x=0 是f(x )的极值点,求 m 并讨论 f(x )的单调性; (2 )当 m≤2 时,证明 f(x) >0. 证明:(2)m≤2, 要证 f(x) >0 ,即f(x) =ex-ln ( x+m ) >ex-ln ( x+2 ) >0 , 即要证 ex>ln ( x+2 ), 由公式 1有 ex≥ x+1 ,又由公式 3有 x+1 ≥ ln( x+2 ), 所以 ex≥ ln( x+2 ) ,所以 ex-ln ( x+2 )≥0, 所以可证 f(x) >0. 试一试:已知函数 f(x) =ex-x-1 ,g(x) =x2eax . (Ⅰ)求 f(x )的最小值;(Ⅱ)求 g(x )的单调区间; (Ⅲ)当 a=1 时,对于在( 0,1 )中的任一个常数 m ,是否存在正数 x0 使得 f( x0) >m2g (x )成立?如果存在,求出符合条件的一个 x0; 否则请说明理由.
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