遇到一些不等式的证明,其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式就是凸函数的一个应用领域,但关键是构造能够解决问题的凸函数.定理(Jensen不等式)[3] 设函数在上处处二次可微,且(对任意,则为上的凸函数,即对任意,及成立如下不等式, (1)该不等式称为Jensen不等式,该性质是凸函数的一个重要性质,也是定义的一般情况.可以说,凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen不等式来体现的,因为每个凸函数都有一个Jensen不等式,因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用.利用它可以推出常用的一些重要公式,为证明不等式开辟了一条新路.注:由定理,经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数,从而都满足不等式(1).(a),(b),(c).凸函数及其性质在解题中有着十分广泛的应用,下面试举数例述之.3.性质利用函数的凸性来证明不等式,是一种重要的方法,通常需要构造适当的凸函数,再运用函数的凸性的定义及几个等价论断,可将一些初等不等式,积分不等式转化为研究函数的性态,从而使不等式简化进而得到证明.函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性,所以研究凸函数的性质就显得十分必要了.性质1[4]设函数在区间为凸函数,则在区间也为凸函数.证明:因函数在区间为凸函数,从而,且.于是有因此在区间为凸函数.性质2设函数在区间为凸函数,则在区间为凸函数.证明,因函数在区间为凸函数从而有,且.令,则.因此,在区间为凸函数.性质3[5]设函数在区间为递增的非负凸函数,则在区间为凸函数.证明,设,因为非负凸函数,由定理3知,在点连续,且,.因此在区间连续,因递增,从而且由定义知在区间为凸函数.
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