·a2·…an=,为证a1·a2·……an<2·n!,Р只要证nÎN*时有>……2° 显然,左端每个因式都是正数,先证明一个加强不等式:Р 对每个nÎN*,有³1-()……3°Р(用数学归纳法,证略)利用3°得³1-()Р=1-=1->。故2°式成立,从而结论成立。Р8. 分项讨论Р例21 [简析] (Ⅰ)略,(Ⅱ) ;(Ⅲ)由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:Р当且为奇数时Р(减项放缩),Р于是, ①当且为偶数时,Р②当且为奇数时,(添项放缩)Р由①知。由①②得证。Р9. 借助数学归纳法Р例22 [解析] 科学背景:直接与凸函数有关!(Ⅰ)略,只证(Ⅱ):Р考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森不等式的证明思路有:Р法1(用数学归纳法)Р(i)当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立。(ii)假定当时命题成立,即若正数,Р则Р当时,若正数(*)Р为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段:Р令Р则为正数,且Р由归纳假定知Р (1)Р同理,由得Р(2)Р综合(1)(2)两式Р即当时命题也成立. 根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.Р法2 构造函数Р利用(Ⅰ)知,当Р对任意②Р(②式是比①式更强的结果). 下面用数学归纳法证明结论.Р(i)当n=1时,由(I)知命题成立.Р(ii)设当n=k时命题成立,即若正数Р Р对(*)式的连续两项进行两两结合变成项后使用归纳假设,并充分利用②式有Р由归纳法假设Р 得Р 即当时命题也成立. 所以对一切正整数n命题成立.Р【评注】(1)式②也可以直接使用函数下凸用(Ⅰ)中结论得到;Р(2)为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合:而变成项;Р(3)本题用凸函数知识分析如下:先介绍詹森(jensen)不等式:若为上的下凸函数,则Р对任意,有Р特别地,若,则有Р若为上凸函数则改“”为“”。Р由为下凸函数得,又,所以
全文预览
