6 )可知,要求一个函数的傅氏变换,实际上就是求一个含参数的广义积分. 计算含参数的广义积分是一件比较困难的工作.但对于某些函数来说,还是比较容易计算的. 3.3 拉普拉斯变换对于任何函数?,我们假定在 t0时?0,那么,只要足够的大,函数? 的傅氏变换就有可能存在,即 F其中?. 记p,FF并注意到 i便得到 F(3.3.1) 专业资料参考首选?(3.2.2) 这是一对新的互逆的积分变换.我们称( 3.2.1 )式为函数?的拉普拉斯变换, 记作 L(3.3.3) 并称函数为?的像函数.而称(3.2.2 )式为函数 F的拉普拉斯逆变换或拉普拉斯反演公式,记作(3.3.4) 并称函数?为F的像原函数.显然?(3.3.5) 拉氏变换的存在条件,由下述拉普拉斯变换的存在定理给出. 设函数? 满足以下条件: (1)当t0时, ?0 (2)当t0时, ?及除去有限个第一类间断点以外,处处连续; (3)当t时,?的增长速度不超过某一个指数函数,亦即存在常数 M及0,使得,0t.(3.3.6) 其中,称为?的增长指数.则?的拉氏变换 F在半平面 Rep 上存在、解析,且当(是任意小的正数)时,有=0在拉氏变换的性质设凡是要求拉氏变换的函数,均是满足拉氏变换存在定理的,则有拉氏变换的定义,我们有如下一些重要性质: (1)线性性质专业资料参考首选 L(2)延迟性质 LF,Re 其中 FL(3) 位移性质设,则 LL (4) 相似性质设a,F则 L (5 )微分性质(6) 积分性质 L(7) 卷积定理其中,定义熟练的掌握以上的这些性质,对于我们用拉氏变换解线性常微分方程和积分方程的初值问题极为方便.4 特殊积分的计算 4.1 泊松积分无穷限积分的收敛性是显而易见的,由于初等函数的原函数不再是初等函数,因此其不能利用牛顿–莱布尼兹公式. 为此,我们将用下面 3 种方法进行计算: (1)二重积分法
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