关于自然数平方和公式的十种证明方法

体……如此继续下去,直到在层上面各添上⑺+1)22=2/?+1块立方体为止,就得到一个每边长斤+1的正方体(如图2・d)・这时,大正方体中所含的小立方体的块数为(n+1)3.图2・d在整个过程中,添加的小立方体块数为Ix3+2x5+3x7+•…n(2/?+1)=1x(2x1+1)+2x(2x2+1)+3x(2x3+1)+・・・+/7(2a?+1)=2(12+22+3?+…・+/?)+(1+2+3+…・+〃)因此有[12+22+32+•••+n2+(h+1)2]+2(12+22+32+•••+n2)+(l+2+3+---+7?)=(/?+l)3即3(12+22+3?+…・+")=a+l)3—(〃+1)2—"("+D化简即得12+22+3?+…+n2=-n(n+l)(2n+l).6堆垛求和法是我国北宋科学家沈括创立的一种独特的方法•它是通过巧妙的几何代数变换来研究数列求和问题的•这种方法在级数理论的发展史上有十分重要的地位,并产生了深远的影响.【参考文献】⑴朱月祥•自然数平方和公式的推导方法[J]•中学生数学(高中版),2014,11(501)[2]?杜春辉•导出12+22+32+42+•••+H2公式的三种方法[J]•数学学习与研究,2009,11(80)[3]?查道庆.组合数公式在数列求和中的应用卩]・学术研究,2014(7)[4]?韩萍.关于求自然数平方和的几种方法卩]・雅安教育学院学报(综合版),1999(2)._/?(«+l)(2w+l)t—6即F+F+F+C…+宀^6方法七:三角数阵法4?4?4?4.W?9?V?S?9此三角数阵中各项和为:1~+2~+32+4~?n2再逆时针旋转120°:••■■4•工•m3?4•••m2?3?4•?•\AA*A****ASS1?2?3**6?J二::m此三角数阵中各项和为:l2+22+32+42+---+n2再逆时针旋转120。: