,②可得.Р第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式Р本章主要是利用线性空间的维数公式,同构,直和分解,核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象,还要和矩阵的联系起来,是有一定的难度的.这其中要构造一些映射.Р命题4.1 设为阶方阵,如果的列向量所生成的的子空间与的零空间(即核空间)的直和为,则.Р证明:根据引理6,要证,只要证与同解.Р的解显然为方程组的解.下面我们用反证法证明的任一解同时也是的解.Р若,因,故. Р另一方面,,其中Р,,Р从而,Р这与矛盾,所以的任一解同时也是的解,于是它们同解,故.Р命题4.2 设为矩阵,为矩阵,证明Sylrester公式:Р.Р证明:设为矩阵,为矩阵,Р考虑,, 方程组, Р设(1)(2)(3)的解空间分别为,,,则,将三者联系起来,作,则它为的子空间,从而Р,Р又为的子空间,作:Р一方面Р下证Р定义Р易知这个映射是单满的,并且满足线性运算条件,所以它是同构映射.Р但上面:Р.Р因此,Р即.Р命题4.3 设为,为矩阵,.证.Р证明:设分别为,,,行空间,那么Р, Р, Р由于,并由维数公式得:Р即得:Р (1)Р由于的行向量是的行向量的线性组合,所以有,又,所以有,因此有,所以有Р (2).Р将(2)代入(1)即得: .Р命题4.4 若,证明.Р证明:设方程组与的解空间分别为,.Р若,则根据引理6知①Р又因为满足解向量也满足,所以②Р由①②可推出.Р要证,只要证与同解.Р设方程组与的解空间分别为,.Р显然,只要证.Р由知,即,因此,命题得证.Р此例是一个有价值的结论.Р例4.1 阶矩阵满足当且仅当.Р证明:先证明必要性.由知相似于形如Р的对角阵,其中1的个数为,又与相似,从而有相同的秩,而Р,Р其中0的个数为的秩,1的个数.所以Р.Р充分性.只要证明对任意均有即可.由说明,
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