:由,得Р所以,Р于是,Р故当时,,又因为,所以.Р点评:本题第三问,基本不等式的应用使构造等比型递推数列成为可能,在公比时,等比数列的前项和趋向于定值,即前项和有界,这为数列和式范围的证明提供了思路。Р利用数列的单调性放缩Р例4 数列为非负实数列,且满足:,Р求证:Р分析:有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩。Р证明:若有某个,则,从而从起,数列单调递增,和会随n的增大而趋向于无穷,与矛盾,所以是单调递减的数列,即,令Р由得,即Р由于Р故。Р点评:本题考虑了数列,的单调性,然后利用放缩法进行证明。Р又如,例3的第三问也可用单调性证明:Р及Р,要证,Р只要证,即而所以问题得证Р放缩法在数学归纳法的应用Р数列不等式是与自然数有关的命题,数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方法。应用数学归纳法证明时,通常要利用放缩法对条件进行适当的转化,才能实现由时成立到时也成立的过渡。Р举例略。Р综合以上分析,我们发现,在数列不等式的求解过程中,通过放缩法的应用,主要使数列不等式转化为以下两种类型:Р(1)可直接裂项的形式,再求和证明求解。(等差型)Р(2)等比型递推数列,时,数列前项和有界。(等比型)Р数列不等式是一类综合性较强的问题,我们可以利用上述思路对数列不等式进行分析、求解。在解题过程中要充分挖掘题设条件信息,把条件合理的转化、加强、放缩,同时结合问题的结构、形式等特征,使条件与结论建立联系,从而使解题思路通畅。其中合理、适当的放缩是能否顺利解题的关键。Р参考文献:Р1 何清泉. 数列不等式证明的几种策略,数学通报, 2007,11Р2 王树国. 师大附中专题(数列、极限、数学归纳法),长沙,湖南师大出版社 2004 第二版Р作者简介:孙卫,1979,汉,安徽芜湖市第一中学,职称:中教二级电话:13966034390,邮码:241000电子信箱: hwjdp@.
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