不是其极值点。情形10函数f(x)的极大(小)值不一定就是最大(小)值。反例:函数f(x)=x-4x+3x+1,x∈[-1,3],由于f′(x)=4x-8x+3=4(x-1)-1,易见x=或x=为f(x)的稳定点,列表如下: 由上表可知:点为f(x)的极大值点,极大值为;点x=为f(x)的极小值点,极小值为1。但函数f(x)在点x=3取得最大值为6,在点x=-1取得最小值为-。上述归结,若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上一定有最大、最小值。若函数f(x)的最大(小)值点x0在区间内,则x0必定是f(x)的极大(小)值点。但f(x)的最大(小)值也可能在区间端点处取得,则f(x)的极大(小)值不一定就是最大(小)值,要通过比较才能确定。 5结语微积分中的反例有助于提高学生的数学逻辑思维能力,突出数学所表达的逆向思维以及体现了数学的严谨性.透彻理解命题、定理条件的充分性及必要性,为了分清条件的充分性与必要性使用恰当的反例是非常有好处的。反例对巩固和加深对概念与定理的理解,以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。在微积分的教学中,反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。另一方面:“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的。它不仅有助于培养学生纵向思维能力,而且有助于培养和发展学生的横向思维能力,更有助于培养学生的数学技能,并使学生养成严格推理、全面分析问题的能力。参考文献: [1]刘福保.反例教学法在数学分析中的作用和构造[J].科技创新导报,2009,NO.11. [2]薛迎杰.浅谈反例在高等数学教学中的作用[J].中国校外教育,下旬刊. [3]马建珍.反例在数学分析中的作用[J].宜宾学院学报,2006,6(12). [4]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.
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