当时,由前述可知,定积分在几何上表示由曲线,两直线与轴所围成的曲边梯形的面积;Р如果,这时曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值,如图5-3;Р图5-4Р图5-3Р Р当在上有正有负时,定积分在几何上表示轴,曲线及两直线所围成的各个曲边梯形面积的代数和(见图5-4),即.Р5.1.2 定积分的性质Р以下性质中函数均为可积函数.Р性质1 函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差),Р即. Р 性质1可推广到有限多个函数代数和的情形. Р 性质2 被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面,Р 即,(为常数). Р 性质3 如果在区间上,则Р ,Р 特别地,时,.Р 性质3的几何意义如图5-7所示. Р 性质4(积分区间的可加性) 如果积分区间被点分成两个区间和,则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和,即Р . Р注意:无论的相对位置如何,总有上述等式成立。Р 性质5 如果在区间上,,则.Р 性质6(定积分的单调性) 如果在区间上,有, Р则. Р例2 比较下列各对积分值的大小Р(1)与Р(2)与Р解(1)由幂函数的性质,在上,有Р Р由定积分性质,得Р(2)在内有,得Р性质7(估值定理) 如果函数在闭区间上的最大值为,最小值为,则. Р性质7说明,由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估计积分值的大致范围.Р例3 估计定积分的值.Р解先求在区间上的最大值和最小值,为此求得, 令,得驻点,比较驻点处与区间端点Р处的函数值:Р , ,Р得最小值,最大值,再根据估值定理,得.Р性质8(积分中值定理) 如果函数在闭区间上连续,则至少存在一点,使得Р Р这个公式称为积分中值公式.Р【教学小节】:Р通过本节的学习,理解曲边梯形面积求法的思维过程,理解定积分的概念及其几何意义,熟练掌握定积分的性质,并学会应用其解决定积分的简单问题。Р【课后作业】:Р无
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