了.Р进一步,对n维向量Y和矩阵,Р Р定义Р Р易于证明以下性质:Р1., 且, 当且仅当Р( 表示零向量,下同);Р2.;Р3.对任意常数,有;Р4.;Р5.;Р6.对任意常数,有;Р7.;Р8. .Р称和分别为向量和矩阵的范数. 进而还有如下性质Р有了维空间的范数定义后,我们可以定义按范数收敛的概念. 即:如果对上的任意x,有Р则称在上按范数收敛于Y(x).如果上式对上的x 为一致的,则称在上按范数一致收敛于.Р 另外, 如果对n维向量函数F(x)有Р则称在连续. 如果在区间上每一点都连续, 则称在区间上连续.Р 有了以上准备,完全类似于第二章定理2.2,我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理.Р定理3.1 如果函数在维空间的区域Р上满足:Р1) 连续;Р2) 关于满足李普希兹条件,即存在, 使对于上任意两点,有Р则存在, 使初值问题(3.4)的解在上存在且唯一,其中Р.Р 定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程Р (3.5)Р同解.为证(3.5)的解在上的存在性,同样用逐次逼近法,其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后,唯一性的证明,同样用贝尔曼不等式完成. Р对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理,这只要在第二章相应定理中把纯量换成向量即可.Р最后,我们要指出方程组(3.3)解的几何意义:我们已经知道,纯量方程(1.9)的一个解是二维空间平面上的一条曲线,或称为积分曲线,那么,很自然地有方程组(3.3)的一个解就是Р维空间中的一条曲线了,也称它为方程组(3.3)的积分曲线.Р本节要点:Р1.一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.Р2.一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征:系数和非齐次项连续区间上整体存在.Р作业: 完成定理3.1的证明.
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