二阶常微分方程的级数解法

数学物理方法Р第九章二阶常微分方程的级数解法Р1Р第九章二阶常微分方程的级数解法Р概述?常点邻域上的级数解法?正则奇点邻域上的级数解法?本章小结Р2Р一、概述Р分离变量法Р直角坐标系、平面极坐标Р本征函数是三角函数Р实际Р正交曲面坐标系(球坐标系和柱坐标系)Р拉普拉斯方程的分离变量Р球坐标系Р勒让德方程Рm = 0Рl 阶勒让德方程Р3Р拉普拉斯方程Р球坐标(r,, )Р(1)Р代入(1)Р………( 参考梁 p226-229)Р4Р柱坐标(,,z)Р贝塞尔方程Р柱坐标系Р拉普拉斯方程Р5Р求解线性二阶常微分方程(带初始条件)Р级数解法Р收敛问题Р方程的常点和奇点Р(1)Р方程(1)的系数 p ( x ) , q ( x ) 均在某点 x0 的邻域内解析; 称 x0 为方程的常点。Рx0是系数 p(x) , q(x) 的孤立奇点;称 x0 为方程的奇点。Р正则奇点Рx0是 p(x) 不超过一阶的极点, 又是 q(x) 的不超过二阶的孤立奇点; 称 x0 为方程的正则奇点。否则为非正则奇点。Р常点Р奇点Рx: 复变数; p(x), q(x) y(x):复变函数Р6Р二、常点邻域上的级数解法Р定理Р如果方程Р的系数 p (x) , q (x) 在点 x0的邻域内解析,则方程在这圆内存在唯一的解析的解 y (x),满足初始条件Р表示成泰勒级数的形式Р以l 阶勒让德方程为例Р系数的确定Р(C0 , C1为任意复常数)Рa0 , a1 , …ak , …待定系数Р7Р勒让德方程的级数解Р即Р在 x0 = 0 的邻域上求解l 阶勒让德方程Р方程的系数Р在 x0 = 0: p( x0 ) = 0, q( x0 ) = l (l+1) , 在 x0 = 0解析Р x0 = 0 是方程的常点Р定理Р8Р于是Р代入l 阶勒让德方程Р合并同幂次的项列表……Р9Р………Р10