个特解.将代入原方程组,得解得.原方程组的特解为因此原方程组的通解为已知方程的一个解,求其通解.解由通解公式,,6.试求下列n阶常系数线性齐次方程的通解(1)(2)(1)解特征方程为:特征根为:。它们对应的解为:方程通解为:.(2)解特征方程为:特征根为:它们对应的解为:方程通解为:.7.试求下述各方程满足给定的初始条件的解:(1),,(2),,(1)解特征方程为:.特征根为:,方程通解为:由初始条件有:,解得.因此方程的初值解为:.(2)解特征方程为:.特征根为:,方程通解为:由初始条件有:,解得.因此方程的初值解为:.8.求下列n阶常系数线性非齐次方程的通解:(1)(2)(1)解由于,,故齐次方程的通解为.由于不是特征根,故已知方程有形如的特解.将它代入原方程,得,,所求通解为.(2)解由于,.因为不是特征根,故已知方程有形如的特解.将上式代入原方程,可得,所求通解为.三、证明题1.设矩阵函数,在(a,b)上连续,试证明,若方程组与有相同的基本解组,则º..证明设为基本解矩阵,因为基本解矩阵是可逆的,故有于是.设在方程中,在区间上连续且恒不为零,试证它的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间上严格单调函数.证明设w(x)是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式,则且有,.又因为在区间上连续且恒不为零,从而对,或,因此,在上恒正或恒负,即w(x)为严格单调函数.3.试证明:二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数.证明设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为,,且,因此有.四、应用题1.一质量为m的质点由静止开始沉入液体中,当下沉时,液体的反作用与下沉的速度成正比,求此质点的运动规律。解设液体的反作用与质点速度的比例系数为则指点的运动满足方程:即则(*)所对应的齐次方程的通解为:又是齐次方程的特征根,故特解形式为:代入(*)式得:因此由得故
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