4.1常微分方程的定性与稳定性

§ § 4.1 4.1 常微分方程的定性与稳定性常微分方程的定性与稳定性上页下页返回 2 一般方程 1, nnx x R x ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 1 ( , ) ( , ) . ( , ) nn f t x F t x R f t x ? ?? ?? ?? ?? ?? ??其中( , ), x F t x ??(0) 一、自治系统与相空间上页下页返回 3上页下页返回 4上页下页返回 5 判定平衡点稳定性的两种方法: ⑴间接法——求出解的表达式,再由稳定性的定义判定平衡点的稳定性。(2) 直接法——不求解,直接利用微分方程的性质判定平衡点的稳定性上页下页返回 6 二、一阶方程的平衡点及稳定性( ) x f x ??(2) 上页下页返回 7 三、一阶方程组的平衡点及稳定性?????),( ),(yxgy yxfx??(3) 以二阶自治系统为例方程组(3) 的相空间是 x-y 平面,称为相平面。上页下页返回 8 或时当0),(),( ),(??yxgyxg yxfdy dx (4b) 时当0),(),( ),(??yxfyxf yxgdx dy (4a) 上页下页返回 9 四、初等奇点及其分类 1、线性系统??????? 21 21bb aaA 称为系数矩阵???????ybxby yaxax 21 21??(5) 上页下页返回 100)()( 122121 2??????bababa??记),( 21bap??? 0) det( 21 21?????bb aaIA???0 2????qp??, det 1221babaAq???qp4 2???)(2 1, 21?????p??其中