一阶常微分方程初等解法

它满足方程,从而求出为此,令Р微分之,得到Р以代入得到Р即Р积分后得到Р这里是任意常数.将代入得到Р这就是方程的通解.Р3.基本方法的应用Р3. 1. 一般变量分离应用举例Р3.1.1应用举例Р 例1 求解方程Р 解将变量分离,得到Р Р 两边积分,即得Р Р 因而,通解为Р Р 这里是任意正常数,或者解出,写出显函数形式的解Р3.1.2应用举例Р 例2 求解方程Р Р的通解,其中的连续函数Р 解将变量分离,得到Р两边积分,即得Р这里是任意常数。由对数定义,既有Р,Р即Р 令,得到Р Р此外,显然也是方程的解,如果允许中允许则也就包括在Р中,因而的通解为,其中为任意常数。Р3. 2齐次微分方程应用Р 3.2.1类型一应用举例Р 例1 求解方程Р 解这是齐次微分方程,以代入,则原方程变为Р Р即Р将上式分离变量,既有Р两边积分,得到Р这里是任意常数,整理后,得到Р=Р得到Р此外,方程还有解Р如果在中允许,则也就包括在中,这就是说,方程的通解为Р带回原来的变量,得到方程的通解为Р 3.2.2类型一应用举例Р 例2 求解方程()Р 解将方程改写为Р Р 这是齐次微分方程.以代入,则原方程变为Р Р分离变量,得到Р Р两边积分,得到的通解Р Р即当时,Р Р这里c时任意常数.此外,方程还有解Р Р注意,此解并不包括在通解中.Р代回原来的变量,即得原方程的通解为Р 当Р及.Р 3.2.3类型二应用举例Р例3 求解方程.Р解方程可化为,令,将代入上式,Р可得,易知是上式的一个解,从而为原方程的一个解.当时,分离变量得,两边积分得,故可得原方程的通解为.Р 3.2.4类型二应用举例Р例4 求解方程.Р解令,则有Р,Р代入所求方程Р,Р整理可得Р,Р由变量分离得Р,Р故所求方程的解为Р. Р3. 2. 5类型二应用举例Р求解方程Р 解解方程组Р得令Р代入上式方程,则有Р Р再令则上式可化为