(t),至少存在某有t1>t0,有||x(t1)||=。二维情形零解的稳定性态在平面上的示意图如图(6.2)。稳定性态在平面上的示意图**稳定性态在平面?上的示意图例对微分方程(4),当A<0,B<0时,其零解y=0为渐近稳定,稳定域为y<A/B。特解y2(t)=A/B为不稳定。当A>0,B>0时,微分方程(9)的零解x=0为渐近稳定,稳定域为x>-A/B。而对微分方程(4)的特解y2(t)=A/B为渐近稳定,稳定域为y>0。零解y=0为不稳定。*常系数线性微分方程组稳定性考虑常系数线性微分方程组其特征方程为由第五章(5.52)式知线性微分方程组的任一解均可表为形如的线性组合。其中λi为特征方程(10)的根,li≥0为由根λi的重数确定的整数。定理1若特征方程(10)的根均具负实部根(包括负根),则方程组(8)的零解是渐近稳定的;若特征方程(10)具正实部根(包括正根),则方程组(8)的零解是不稳定的;若特征方程(10)没有正实部根(包括正根)的根,但有零根或零实部的根,则方程组(8)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的,这要看零根或零实部的根的重数是否等于1而定。*按线性近似的稳定性现考虑非线性驻定微分方程组右端函数满足条件显然,方程组有零解x=0。可以按(11)的线性近似方程组(8)零解的稳定性态决定非线性驻定微分方程组(11)的稳定性态。即定理2若特征方程(10)没有零根或零实部特征根(特征值),则非线性方程组(11)的零解的稳定性态与其线性近似方程(8)零解的稳定性态一致:当特征方程(11)的根均具负实部根(包括负根)时,方程组(8)的零解是渐近稳定的;当特征方程(10)具正实部根(包括正根)时,方程组(11)的零解不稳定。若特征方程有零根或零实部特征根时方程组(11)属临界情形,其零解的稳定性态不能由其线性近似方程组(8)的零解的稳定性态决定,需考虑高次项的影响。
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