专题突破三离心率的求法第二章圆锥曲线与方程一、以渐近线为指向求离心率例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为________.思维切入双曲线的两渐近线有两种情况,焦点位置也有两种情况,分别讨论即可.解析由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时,若其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示;若其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示.点评双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.跟踪训练1 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为√解析由题意知,过点(4,-2)的渐近线的方程为二、以焦点三角形为指向求离心率例2 如图,F1和F2分别是双曲线(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为________.思维切入连接AF1,在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解.解析方法一如图,连接AF1,由△F2AB是等边三角形,知∠AF2F1=30°.易知△AF1F2为直角三角形,方法二如图,连接AF1,易得∠F1AF2=90°,β=∠F1F2A=30°,α=∠F2F1A=60°,于是离心率点评涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值.
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