这个探索性问题我们着重点放在,无论P在什么位置都有CPBD,所以想到是否是去证明线面垂直问题,猜测CP面PAC,然后去证明。解:因为PA面ABCD所以直线PC在平面ABCD的射影为AC,又因为ACBD,所以无论点P在什么位置PCBD向量法:以DA,DC,DD1分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系,设正四棱柱底面边长为a,侧棱长为b所以D(0,0,0),B(a,a,o)P(a,o,z),C(0,a,0)所以所以无论点P在什么位置DBPCDCABB1A1C1D1PZXY小结:从上面的例题所用的两种不同的方法,我们很容易知道若用传统的几何证明的方法求这类探索性问题,需要猜测、寻找适合条件的点,然后证明,思维上造成困难,而用空间向量只要设出变量,就可利用向量运算解决很久以来的我们的难点和困惑。如图8-1,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,1上的一点,.CP=m(1)试确定m,使直线AP与平面BB1D1D所成角的正切值为;(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,并证明你的结论.ABCDA1B1C1D1PZYX以DA,DC,DD1为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系D-XYZ则A(1,0,0)B(1,1,0)P(0,1,m)C(0,1,0)D(0,0,0)B1(1,1,1)D1(0,0,1)所以又解得m=此时AP于平面BB1D1D的正切值为2)如在A1C1存在这样的点Q,设Q(x,1-x,1)依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,等价于D1QAP所以所以-X+(1+X)=0解得X=即Q为A1C1中点时,满足题设条件[规律小结]探究性问题一般具有一定的深度,需要深入分析题目的条件和所问,根据题目的特征,选用适当的解题方法.必要时,进行假设推理,或者反证推理,往往也是进行图形推理与代数推理的典型问题
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