第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一,主要以解答题形式考查,往往作为试卷的压轴题之一;2.以椭圆或抛物线为背景,尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求,并突出数学思想方法考查.真题感悟答案 52.(2018·北京卷)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)解因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2p=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<1,又因为k≠0,故k<0或0<k<1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2).从而k≠-3.所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.(1)解由于点P3,P4关于y轴对称,由题设知C必过P3,P4.所以点P2在椭圆C上.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果直线l的斜率不存在,l垂直于x轴.设l:x=m,A(m,yA),B(m,-yA),此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.从而可设l:y=kx+m(m≠1).由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.
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