一、定积分的换元积分法第三章函数的积分学第七节定积分的换元积分法与分部积分法二、定积分的分部积分法一、定积分的换元积分法定理若函数f(x)在区间[a,b]上连续.函数x=j(t)在区间[a,b]上单调且有连续导数j(t),当t在[a,b](或[b,a])上变化时,x=j(t)的值在[a,b]上变化,且j(a)=a,j(b)=b(或j(a)=b,j(b)=a)则证因为f(x)在区间[a,b]上连续,所以它可积.设F(x)是f(x)的一个原函数,则由牛顿-莱布尼茨公式得由不定积分换元法得知于是例2 计算解用定积分换元法.则x=t2,dx=2tdt,于是例3 计算解则x=ln(t2-1),于是xtln3ln823例4 设函数f(x)在对称区间[-a,a]上连续,求证:(2)当f(x)为偶函数时,(3)当f(x)为奇函数时,证(1)根据定积分性质3,则则①(1)得对①式右端第一个积分用换元积分法,令x=-t,则dx=-dt,xt-a0a0,于是把②式代入①式中,得②(2)因为f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),得(3)因为f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x),得例5 计算解易知因此且积分区间对称于原点,例6 计算解因为被积函数且积分区间对称于原点,令x=2sint,则dx=2costdt,xt010,于是得
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