定积分的换元法和分部积分法

.Р解仅证(1),(2)的证明留给同学练习.Р因为,对积分作代换,则得Р又在上为偶函数,故(),于是Р注(1)这里用到了“定积分与积分变量的记法无关”这一结论;Р(2)利用例5的结论,常可简化计算奇函数、偶函数在以原点为对称的区间上的定积分.Р例6 若在上连续,证明:Р(1) ;Р(2) ,并由此计算.Р分析在定积分中经常遇到正、余弦间的互化问题,同名函数间往往采用代换(或等等),异名函数间往往采用代换(或等等)来解决这类问题.Р证(1) 设,则,于是Р.Р (2)设,则,于是Р Р所以.Р利用上述结论,得Р这里需注意到在上连续.Р例7 设函数计算Р分析令,则.由于是分段函数,故需根据及将积分区间进行分段.Р解设,则,于是Р二、定积分的分部积分法Р回顾:不定积分的分部积分公式为Р由Newton-Leibniz公式,我们有Р简记作或(2)Р称为定积分的分部积分公式.公式表明原函数已经“积”出的部分可以先代上、下限.Р例8 计算.Р解.Р例9 计算.Р分析若直接应用分部积分公式,则积分化得更复杂.所以需要先用换元法.Р解令,则,于是Р .Р例10 证明定积分公式(积分表(147)):Р分析由于被积函数与自然数(参数)有关,我们采用递推的方法.Р证Р于是有.Р称为积分关于下标的递推公式.我们可以得到Р (),Р而,Р因此, (),Р或写为Р又由例6(1)可知?. 证毕.Р注关于该结果要熟悉,在很多积分运算中经常会遇到.Р三、总结Р本节我们学习了Р1.定积分的换元法,要注意何时须明显地写出新变量并将上、下限变为新变量积分限,何时无须明显地写出新变量,而积分限也不要变更;Р2.定积分的分部积分法,要掌握它与换元积分法的结合使用,并了解递推公式法的使用及奇偶函数在以原点为对称的区间上的积分.Р作业习题5-3(249页) 1(2,5,8,11,15),2(1,3),11(1,5,12).