存在,使得Р。Р(ii)如果函数在上递增,且,则存在,使得Р。Р推论2 设函数在上可积,如果为单调函数,则存在,使得Р。Р在勒贝格积分中,我们知道了从非负可测函数积分的几何意义到一般可测函数积分的几何意义。Р定理6 (非负可测函数积分的几何意义)设是可测集上的非负Р函数,那么当在上可测时,有。Р推论3 设是上可积函数,则。Р 5.4 被积函数连续性的比较Р如果是定义在上的有界函数,那么在上是黎曼可积的充分条件是在上的不连续点集是零测度集。Р定理7 定义在有限区间上的函数若是黎曼可积,那么勒贝格可积,并且积分值是相等的,即。Р这表明了在上黎曼可积与勒贝格积分是相等的,反过来证明勒贝格可积的函数未必黎曼可积。Р例2在上的函数,不是黎曼可积的,却是勒贝格可积的。那是因为除了点外,闭区间上的其余点都是属于间断点,那么它在一正测度集上是间断的,所以它不是黎曼可积的,但是因为是有界可测,所以Р说这个函数是勒贝格可积的。Р5.5收敛条件Р在黎曼积分的意义下,函数列只有满足一致收敛的条件,才能够保证极限与积分的交换顺序,但是这一条件过分强了。如,,Р当时,收敛但是非一致收敛于,然而此时仍然有Р。Р这就说明,黎曼积分收敛定理中的一致收敛只是积分运算与极限运算交换的充分条件,而不是必要条件。Р在勒贝格意义下,不是一致收敛也能保证积分与极限运算的交换的。Р定理8 (勒贝格控制收敛定理)设Р是可测集上的可测函数列;Р,,并且在上可积;Р(依测度收敛)Р则在上可积,并且。Р通过定理6,7,8能对黎曼积分收敛定理作出了一些适当的改进,改进后的定理是:Р定理9 设和在上可积且Р处处收敛于;Р那么有。Р下面我们重新来考察前面所提到的函数列,和Р极限函数,显然和满足定理9的条件,因此,虽然Р不一致收敛于,但是由定理9可知必定有Р。Р由此得知,定理9的确比原来的黎曼积分收敛定理要优越,但是还要注意,定理9要求
全文预览
