、平面上的质点系的重心Р其质点系的重心坐标为Р , Р2、平面薄片的重心Р设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。Р这就是力矩元素,于是Р又平面薄片的总质量Р从而,薄片的重心坐标为Р特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则Р十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。Р【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆,Р()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。Р解: 由的对称性可知: Р而Р故Р二、平面薄片的转动惯量Р1、平面质点系对坐标轴的转动惯量Р设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为。Р设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为Р2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量Р设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为, 假定在上连续。现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。Р与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为Р【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量。Р解: 转动惯量元素为Р三、平面薄片对质点的引力Р设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。Р于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为Р故Р总结:本文主要讨论了二重积分在几何、物理上的一些应用,对重积分的应用可利用公式直接求解,也可采用元素法,利用物理公式寻找所求量的微元,推导应用的公式,选择恰当的坐标系,然后在相应的积分区域上计算重积分。Р参考文献:Р高等数学. 下册/ 同济大学数学系边. –6版.—北京:高等教育出版社,2007.6Р同济大学彭辉张天德. 高等数学辅导(同济第六版)Р2010全国硕士研究生入学统一考试.高等数学.辅导教材(主编:黄庆怀)
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