随机过程（十四）－布朗运动

Brown运动Р随机游动Р设一个粒子在直线上做随机游动,每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置,则Р其中Р问:要令Dt和Dx趋于零,X(t)将会具有哪些性质?Р首先来看Р因此,Р容易证明:?(1)X(t)服从均值为0,方差为s2t的正态分布;?(2){X(t),t≥0}有独立增量?(3) {X(t),t≥0}有平稳增量РBrown运动的定义Р随机过程{B(t),t≥0}如果满足?(1)B(0)=0 ;?(2){B(t),t≥0}有平稳独立增量;?(3) 对每个t>0,B(t) 服从正态分布N(0,s2t).?则称{B(t),t≥0}为布朗运动,也称为wiener过程。?如果s=1,则称为标准布朗运动。Р注:第(1)条并不是必须的。如果B(0)=x,则称{B(t),t≥0}为始于x的布朗运动,记为Bx(t) 。РBrown运动的另一种定义РBrown运动是具有如下性质的随机过程{B(t), t≥0}:?(1)正态增量性:?(2)独立增量性:B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u), 0≤u≤s。?(3)路径的连续性: B(t)是t的连续函数。РBrown的分布性质Р空间齐次性Р定义:Р连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下,过程在时刻t的分布函数РBrown的马氏性Р在Brown运动的情况下,转移概率是正态的Р转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0 ),即Р这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.