(c)).Р图6-2 (a)Р(b)Р但它满足定理的三个条件,有水平切线(图6-2-(d))Рy? Р y=f (x)Р0 xР首页Р×Р注3Р可能有同学会问,为什么不将条件(i)(ii)合并为f (x)在[a ,b]上可导?Р可以.但条件加强了,就排斥了许多仅满足三个条件的函数.Р例如函数,Р则Р显然x = 0时,函数不可导(切线∥y轴),即不符合加强条件;Р例如Р在[-1,1]上满足Rolle定理的三个条件.Р在(-1,1)内存在无限多个Р使得Р首页Р×Р注4Р罗尔定理结论中的值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个.Р倘若有两个实根和(不妨设),则函数在上满足罗尔定理三个条件,从而存在,使,这与的假设相矛盾,命题得证.Р这可反证如下:Р如果去掉第三个条件,Rolle定理的结论会发生什么变化?Lagrange给出了回答.Р首页Р×Р设为R上可导函数,证明:若方程没有实根,则方程至多只有一个实根。Р作为罗尔定理的简单应用,请看下面的例子。Р例1Р证Р(问)РRolle定理的条件(i)(ii)很重要且具有一般性,但条件(iii)比较苛刻,函数一般不满足它,从而限制了定理的应用.Р定理6.2Р表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。Р首页Р×Р(拉格朗日(Lagrange)中值定理)Р若函数满足如下条件:Р(ⅰ) 在闭区间上连续;Р(ⅱ) 在开区间内可导;Р则在内至少存在一点,Р使得Р(2)Р显然,特别当时,本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)。Р定理是说,若平面上一条以、为端点的连续曲线在内处处有不平行于y轴的切线,Р使得曲线在该点的切线平行于弦AB ,即平行于两个端点与的连线(图6-3-(a))Рy? Р y=f (x)Р首页Р×Р(析)Р为了找出证明思路,我们也先从几何上看Lagrange定理的意义:Р(2)式右端是弦AB的斜率.Р则在开区间内部必至少有一点,
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