明( Ⅰ)略; (Ⅱ)证明:依题意,有 g'?x??lnx?1 , ??a?b??a?b???a?b?g?a??g?b??2g???g?b??g????g???g?a?? 由拉格朗日中值定理得, ?2??2???2?? ?a?b??a?b? 存在???a,,b? ,使得?,???22???? ?b?ab?a?a?b???a?b?''g?b??g??g?ga?g??g???ln??ln?? ???????????????22?2???2?? ?ln?b?abb?a4ab?a??ln??ln???b?a?ln2 ?2a2a2 ?a?b??a?b? 评注:对于不等式中含有 g?a?,g?b?,g? 我们往往可以把 g???a?b? 的形式, ??g?a?22???? ------------------------------------------------------------------------------------------------ ——————————————————————————————————————?a?b??a?b??a?b? 和 g?b??g?? , 分别对 g???g?a? 和 g?b??g?? 两次运用拉格朗日中值定理. 222?????? 例7: (2006 年四川卷理第 22题)2 已知函数 f?x??x2??alnx(x?0),f?x? 的导函数是 f'?x? ,对任意两个不相等的正数 x x1,x2 ,证明:(Ⅰ)当 a?0 时, f?x1??f?x2? 2 ?x?x ?f?12 ?2?? ?? ??f?x1? .由拉格朗日中值? 证明:(Ⅰ)不妨设 x1?x2 ,即证 f?x2??f? 定理知,存在?1??x1, ?? x1?x2 2 ?x1?x2?2??x1?x2??f?2?? ??x1?x2?
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