函数的单调性及其应用

性Р设 y=f(x)定义域为A,u=g(x)的定义域为B,则复合函数y=f[g(x)]在定义域{x|x∈B且g(x)∈A}上的单调性: Р(1)当y=f(u)与u=g(x)的单调性相同时,y=f[g(x)]为增函数; Р(2)当y=f(u)与u=g(x)的单调性相反时,y=f[g(x)]为减函数. Р下面就 y=f(u)、u=g(x)均为增函数来证明. Р设 x1、x2∈{x|x∈B且g(x)∈A},且x1<x2. Р∵ u=g(x)是增函数,∴ g(x1)<g(x2),即u1<u2. Р又∵ y=f(u)是增函数,∴ f(u1)<f(u2),即f[g(x1)]<f[g(x2)]. Р∴ y=f[g(x)]为增函数,其余情况大家可类似作出证明. Р例 1 、已知 f(x)是(0,+∞)上的减函数,则f(4-x2)的单调递减区间是( ) РA、(0,+∞) B、(-∞,0) РC、(0,2) D、(-2,0) Р解: 函数 f(4-x2)的定义域为(-2,2),在(-2,0)上g(x)=4-x2为增函数. Р ∴ f(4-x2)的递减区间为(-2,0),选D. Р答案: D Р例 2 、已知 y=在(0,+∞)上是增函数,如果(a>0)在[0,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围. Р解: Р ∵ y=在[0,+∞)上是增函数,且x2+1在[0,+∞)上是增函数, Р ∴在[0,+∞)上是增函数, Р ∴+x在[0,+∞)上是增函数, Р ∴在[0,+∞)上是减函数. Р 若 a≥1,则(1-a)x在[0,+∞)上是减函数或常数函数. Р ∴当a≥1时,f(x)在[0,+∞)上是减函数. Р 而当 0<a<1,∵ f(0)=1,f(1)=-a,f(0)与f(1)大小关系不定. Р ∴ f(x)在[0,+∞)没有单调性. Р综上,当 a≥1时,f(x)在[0,+∞)上是减函数.