运动定义中的条件(1)我们可以看出,布朗运动的初值为零。?由条件(2)我们知道在t时刻,维纳过程的值为:? (A-1)?其中: 为标准正态变量,服从标准正态分别。?也就是说,在长度为的时间间隔内,服从布朗运动变量的均值为0,方差为。?由条件3我们可以看出,布朗运动的增量为? (A-2)?在长度为的时间间隔内,服从布朗运动变量的均值为0,方差为。?布朗运动的这些特性成为描述股票价格的最佳数学工具,在期权定价中非常有效。РA.2 伊滕微积分Р在高等数学中所学的微积分称为牛顿微积分,牛顿微积分有很多规则,利用这些规则求解微积分非常方便。但是,这些规则在随机世界并不适用,在随机世界中使用伊滕(Ito)微积分。?A.2.1 伊滕微积分?在牛顿微积分中,如果,则它的微分表达式为。在随机世界中,如果,它的微分表达式并不是,因为。那么布朗运动的微分形式是什么呢??用泰勒(Taylor)级数把展开,得到? ? (A-3)Р在牛顿微积分中,无穷小项和更高级的无穷小项均为零,而在随机世界中有所不同, 。所以随机变量函数的微分为:? (A-4) Р因为, , 代入式(A-4)得到的微分:Р或者Р由此可见,伊滕微积分与牛顿微积分相比要复杂的多。与牛顿积分一样,只有少数随机微分方程可以用伊滕积分求出它的积分表达式。求随机过程的微分与求随机微分方程的积分相比要容易的多。?A.2.2 伊滕定理?假设过程的漂移率和扩散率(或波动) 分别为随机过程和时间的函数,我们称下列过程为伊滕过程。Р假设是和的连续可微函数,即Р其中也是一个随机过程。Р如果和有一微小变化和,响应地也有一个微小的变化。用泰勒(Taylor)定理展开就得到计算的数学表达式: ? ? Р (A-5)?在公式(A-5)中,等号右边的第四项和第五项及以后的各项均为无穷小量,可以忽略不计,而第三项的值不为零。这时就得到计算的近似表达式:? (A-6)
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