张启津张华同学家中有三种酒杯,一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形,称之为直角酒杯(如图1),另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线,杯口宽cm ,杯深8cm(如图2),称之为抛物线酒杯,还有一种轴截面近似椭圆的椭圆酒杯,测量后得知杯口宽4cm,杯深为9cm,中间最宽处距杯底为5cm(如图3)。4 2图(1)图(2)图(3)问题一:有一天,张华不小心将一根粗细均匀,长度为l的细棒掉进了直角酒杯中,假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计,那么当细棒最后达到平衡状态时,细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一种情形?请加以证明。分析:注意到细棒的粗细均匀,因此细棒的平衡状态也就是细棒重心(即中心)处于最低位置的状态。问题一抽象成数学问题即定长为l的线段AB的两个端点在折线y x?上移动,确定AB的位置,使中点M到x轴的距离最小。ABM问题二:若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物线酒杯中,也假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计,那么当细棒最后达到平衡状态时,细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一种情形?请加以说明。问题二抽象成数学问题即A定长为l的线段AB的两个端点在抛物线2x y?上移动,确定AB的位置,使其中点M到x轴的距离最小。BM利用结论说明实际问题即(1)当细棒长度l酒杯抛物线通径时,细棒通过抛物线焦点的时候,达到平衡状态。如下图A(2)当细棒长度l酒杯抛物线通径时,细棒呈水平时,达到平衡状态。如下图B??AB课外思考:如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中,你能猜想最后平衡状态是怎样的吗?图(3)如图,以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭圆方程为:2 29125 100y x? ?通径为:409(1)若409l?,则当细棒过焦点时,达平衡状态。(2)若409l?,则当细棒水平放置时,达平衡状态。
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