王松桂第三版概率论与数理统计第三章答案

fY(y)f(x,y)dxxedx0(1y)2111xd(ex)(xexex)(y0)(1y)20(1y)20(1y)2对于x>0,y>0,都有f(x,y)fX(x)fY(y),所以,X与Y是相互独立的.3.18设二维随机向量(X,Y)的分布函数为1exeye(xy),x0,y0,F(x,y)0,其他讨论X,Y的独立性.x解:因为FX(x)limF(x,y)1e(x0)yyFY(y)limF(x,y)1e(y0)x由于xyxy(xy)FX(x)FY(y)(1e)(1e)1eeeF(x,y)(x0,y0)所以,X与Y是相互独立的。3.19设X与Y是两个相互独立的随机变量,并且均服从区间(0,1)上的均匀分布,求X+Y的概率密度函数.解:由于X与Y均服从区间(0,1)上的均匀分布,故X与Y的边缘密度函数分别为:10x110y1fX(x),fY(y)0其他0其他记ZXY,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页(3.7.3)式,Z的概率密度函数可以写为f(z)f(x)f(zx)dxZXYz当0z1时,若0xz,则f(z)1dxz;若x0或xz,被积函数为0,此Z0时显然有fZ(z)0.1当1z2时,若z1x1,则f(z)1dx2z,若xz1或x1,被积函Zz1数为0,此时显然有fZ(z)0;z的其他情形,显然有f(z)f(x)f(zx)dx=0.综合起来,有ZXYz,0z1,f(z)2z,1z2Z0,其他此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,当1z2时,积分区域要分成两个部分.