令,因为很大,由中心极限定理有由分布表知当时即能满足上述不等式,于是知,即能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差不超过。4.36若某产品的不合格率为0.005,任取10000件,问不合格品不多于70件的概率等于多少?解:令则,记,其中,记,由中心极限定理有即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。4.37某螺丝钉厂的不合格品率为0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95?解:令则,记,其中尚待确定,它应满足,由中心极限定理有查分布表可取,由此求得,即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。4.39用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。证:设独立同二项分布,即的特征函数为,记的特征函数记作,因为,故,于是有而是参数为的普哇松分布的特征函数,由特征函数的逆极限定理即知定理成立,证毕。4.40设随机变量服从---分布,其分布密度为证:当时,的分布函数弱收敛于分布。证:的特征函数为,易知的特征函数为而因而有故,所以相应的分布函数弱收敛于分布,命题得证。4.41设为一列独立同分布随机变量,且服从上的均匀分布,证明对成立中心极限定理。证:易知,于是故,对任意的,存在,使当时有,因而,从而当,,若,由此知即林德贝尔格条件满足,所以对成立中心极限定理,结论得证。4.42设皆为独立同分布随机变量序列,且独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于正态分布。证:这时仍是独立同分布随机变量序列,易知有由林德贝尔格---勒维中心极限定理知:的分布函数弱收敛于正态分布,结论得证。4.45利用中心极限定理证明:证:设是独立同分布随机变量序列,共同分布为的Poisson分布,故,由林德贝尔格---勒维中心极限定理知由Poisson分布的可加性知服从参数为的Poisson分布,因而,但,所以成立,结论得证。
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