可证明该题结论.应用二:已知双曲线二2一零一1.问过点一,’‘一’一产’‘~~分一2一”,~八、、A(1,1)能否作直线1,使1与双曲线交于P,Q两点,并且A为线段尸Q中点,若存在,求出直线1的方程,若不存在,说明理由.解:假设所求直线存在,则由上述结论②可得koA·kl二2,k以=1.故kl二2,所以直线1方程为y一1=2(x一1).即y二Zx一1.又由点弦的结论有kAB。aZ.又kAB=x一2.故口.XaZ,=-2二x一2.夕x龙月刀=一丁不,。“一y所以bZxZ+aZ尹一夕cx=0.2.当AB垂直于x轴时,点尸即为点F,此时点尸的坐标满足上式.3.当AB与x轴平行时,点尸为原点,同样满足上式.故点尸的轨迹方程为夕户+砂尹一夕cx=0.已知双曲线丝_丝=aZbZ1(a,beR+)的半焦距为。,且夕二ac,尸,Q是双曲线上任意两点,M为尸Q的中点,当直线PQ与直线OM斜率k尺,k附都存在时,求kPQ·k哪的值.(2005年上海高中数学竞赛ASIO杯)亡a.八‘,由-2口.0-al解:由上述结论k阳·k哪=因为夕=ac.故k咫·k哪由于bZ=acaZ+bZ=cZ{,污Zx甘tZx乙一y艺=2得2x2一4x+3=0,故:2一二。一。,一。冷(含)’一含一卜。.含一平或于一铲‘舍去,?△=16一4又2X3=一8<0.故直线,一2工一:与双曲线二2一零一1没‘:.k咫.k哪=1一万有交点,所以所求直线不存在.评注:通过对椭圆情形的类比得到双曲线中点弦的结论.上述例题的结论②在双曲线中的具体应用,直线程是否存在还要通过判别式来判断直线与双曲线是否有交点.在教学中,老师应充分发挥典型例题的教学功能,通过一题多变,一题多联,一题多解等方法训练,开拓解题思路,探求适当的教学结论和规律,并给以解释或说明,这样开阔学生视野,促使知识迁移,培养学生勇于质疑和善于反思的习惯,并体验到学习学乐趣.
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