常系数高阶Р线性微分方程Р一. 常系数线性齐次微分方程Р二. 常系数线性非齐次微分方程Р第六章Р常系数Р齐次线性微分方程Р基本思路:Р求解常系数线性齐次微分方程Р求特征方程(代数方程)之根Р转化Р第六章Р二阶常系数齐次线性微分方程:Р和它的导数只差常数因子,Р代入①得Р称②为微分方程①的特征方程,Р1. 当Р时, ②有两个相异实根Р方程有两个线性无关的特解:Р因此方程的通解为Р( r 为待定常数),Р①Р所以令①的解为Р②Р则微分Р其根称为特征根.Р2. 当Р时, 特征方程有两个相等实根Р则微分方程有一个特解Р设另一特解Р( u (x) 待定)Р代入方程得:Р是特征方程的重根Р取 u = x , 则得Р因此原方程的通解为Р3. 当Р时, 特征方程有一对共轭复根Р这时原方程有两个复数解:Р利用解的叠加原理, 得原方程的线性无关特解:Р因此原方程的通解为Р小结:Р特征方程:Р实根Р特征根Р通解Р以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.Р若特征方程含 k 重复根Р若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项Р则其通解中必含Р对应项Р特征方程:Р例1.Р的通解.Р解: 特征方程Р特征根:Р因此原方程的通解为Р例2. 求解初值问题Р解: 特征方程Р有重根Р因此原方程的通解为Р利用初始条件得Р于是所求初值问题的解为Р例3.Р的通解.Р解: 特征方程Р特征根:Р因此原方程通解为Р例4.Р解: 特征方程:Р特征根:Р原方程通解:Р(不难看出, 原方程有特解Р例5.Р解: 特征方程:Р即Р其根为Р方程通解:
全文预览
