可求得方程组精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响,这种方法也只能求得线性方程组的近似解。? 这类方法是解低阶稠密矩阵及大型带状方程组的有效方法。Р2、迭代法:就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法,迭代法具有需要计算机的存贮单元较少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算机中始终不变等优点,但存在收敛性和收敛速度等问题。? 迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。Р注:直接法求解n元线性代数方程组所需乘法次数?1、Cramer(克莱姆)法则:(n+1)!,当n=10时,(n+1)!=39916800次?2、Gauss消去法: 当n=10时,约为430次Р3.2 线性方程组的直接解法Рn元线性方程组Р简记为Р设A非奇异,则方程组有唯一解。Р方程组的矩阵形式РGauss消去法Р高斯消去法步骤:?(1) 首先将增广阵[ A, b ] 化为上三角阵;?(2) 用三角方程组,回代求解。РGauss消去法是一个古老的求解线性代数方程组的方法(早在公元前250年我国就掌握了解三元一次联立方程组的方法)。但由于它改进、变形得到的主元素消去法、三角分解法仍然是目前计算机上常用的有效方法。Р例1 用消去法解方程组Р(1)?(2)?(3)Р用一个简单的例子说明消去法的基本思想。Р解(1) 化上三角方程组Р①?②?③Р①?②?④Р③+(-2)×①Р④+ ②Р①?②?⑤Р①?②?⑤Р(2)回代过程. 得到下同解方程组后,如下处理Р从下向上逐步求解Р把x3的值代入②求x2Р用x3, x2的值求x1Р对应的增广矩阵的变化Р(-2)×r1 + r3→r3Рr2 + r3 → r3Р1.基本思想Р将原方程组逐次消去未知元, 变为与之同解的上三角方程组, 再回代求解。Р用矩阵语言叙述,上述过程是使用初等行变换把增广阵约化为上三角阵,使用上三角方程组,回代求解。
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