二次函数和一元二次方程关系和其应用浅谈

B(4,0)可知xl二-1,x2二4,1.韦达定理与抛物线对称轴方程的关系及其应用二次方程中ax2+bx+c(aHO),方程两根xl、x2与系数a、b、c存在如下关系(韦达定理):xl+x2二-KSX(DcaKSX)凡xl•x2=KSX(3caKSX)1而抛物线y=ax2+bx+c(a^O)的对称轴直线是X=-KSX(3b2aKSX)H,若把韦达定理引入抛物线对称轴方程,不难得到x=KSX(312KSX)3(xl+x2),由此,可以由方程的根求相应抛物线的对称轴,或者知抛物线的对称轴直线求一元二次方程的根。例5.已知方程ax2+bx+c(aHO)的一个根为T,二次函数y二ax2+bx+c(aHO)的对称轴是x二3,求方程的另一个根。分析:此题可由对称性求解,求出(T,0)关于直线x=3的对称点的横坐标即可,但直接应用关系X二KSX(312Ksx”(xl+x2)更为方便。解:设方程的另一个根为直线x=3是抛物线的对称轴KSX(312KSX)3(-1+X2)=3解得x2=7由上例通过方程的两根之和与抛物线对称轴关系x=KSX(312KSX)3(xl+x2)巧妙求出另一个根,不失是一种很好的解题途径。2•二次函数中基本线段长度求法。抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y=ax2+bx+c(a^O)与x轴两交点为A(al,0),B(x2,0)由于xl、x2是方程\ax2+bx+c(aHO)的两个根,所以xl+x2=-KSX(3baKSX)3,xl•x2=KSX(2caKSX)2,由韦达定理可得抛物线与x轴两交点之间的距离AB=Ksx(MKF(3AKKF)U|a|Ksx)U。从以上各例可以看出,把一元二次方程与二次函数知识点进行整合,使我们能更好的系统掌握和理解知识网络,更有效、更灵活的解决问题,可使复杂问题简单化,有利于提高求解效率。(作者单位:甘肃省临夏县土桥中学731800)