式。当问题的正面考虑有阻碍时,应考虑问题的反面,从反面入手,使问题得到解决。Р例13 已知函数,求证、、中至少有一个不小于1.Р思路分析反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”,它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样,或以否定形式给出时,一般可考虑采用反证法。Р证明(反证法)假设原命题不成立,即、、都小于1。Р则Р①+③得,Р与②矛盾,所以假设不成立,即、、中至少有一个不小于1。Р 一题多解训练Р 由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同,因而,同一问题可能得到几种不同的解法,这就是“一题多解”。通过一题多解训练,可使学生认真观察、多方联想、恰当转化,提高数学思维的变通性。Р例14 已知复数的模为2,求的最大值。Р解法一(代数法)设Р解法二(三角法)设РyРxРOР.iР.Р-2iР图1-2-3РZР则Р解法三(几何法)Р如图1-2-3 所示,可知当时,Р解法四(运用模的性质)Р而当时,Р解法五(运用模的性质)Р Р又Р第二讲数学思维的反思性Р一、概述Р数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解,精细地检查思维过程,不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设,获得独特的解决问题的方法,它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练,培养他们的创造性思维。Р二、思维训练实例Р(1) 检查思路是否正确,注意发现其中的错误。Р 例1 已知,若求的范围。Р错误解法由条件得Р Р②×2-①得Р①×2-②得Р+得Р错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数,其值是同时受制约的。当取最大(小)值时,不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的。Р正确解法由题意有Р解得:Р把和的范围代入得Р在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。
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