=-[cos(A+C)+cos(A-C),即cos=-cos(A-C)=-(2cos-1),整理得:4cos+2cos-3=0,解得:cos=y,,-x例3.设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a的最大值和最小值。【解】设sinx+cosx=t,则t∈[-,],由(sinx+cosx)=1+2sinx·cosx得:sinx·cosx=∴f(x)=g(t)=-(t-2a)+(a>0),t∈[-,]t=-时,取最小值:-2a-2a-当2a≥时,t=,取最大值:-2a+2a-;当0<2a≤时,t=2a,取最大值:。∴f(x)的最小值为-2a-2a-,最大值为。【注】此题属于局部换元法,设sinx+cosx=t后,抓住sinx+cosx与sinx·cosx的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈[-,])与sinx+cosx对应,否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例4.设对所于有实数x,不等式xlog+2xlog+log>0恒成立,求a的取值范围。(87年全国理)【分析】不等式中log、log、log三项有何联系?进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。【解】设log=t,则log=log=3+log=3-log=3-t,log=2log=-2t,代入后原不等式简化为(3-t)x+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以:,解得∴t<0即log<0
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