有理数域上多项式的因式分解

多项式,若fx分成为两个有理数域上的多项式gx与hx的乘积,且Р∂gx<∂fx,∂hx<∂(fx)Р那么fx定能分解成两个次数较低的整系数多项式乘积.Р例1:设fx, gx是两个整系数多项式,且gx是本原多项式.证明:若fx= gxhx,且hx是有理数域上的多项式,那么hx一定是整系数多项式.Р证明:根据本原多项式的性质来证明,设Рfx=af1x,hx=rh1xР其中f1x,h1x都是本原多项式,a是整数,r是有理数.于是有Рaf1x= rg(x)h1xР因为g(x)h1x是本原多项式.故r=±a,即r是一个整数,所以hx=rh1x是整系数多项式.Р(四)判断多项式在有理数域上的可约性Р基于整系数多项式,我们需要判断它是否可约,这是我们讨论有理数域上多项式因式分解的重点,接下来列出一些判别整系数多项式不可约的方法.Р1.爱森斯坦(Eisentein) 判别法Р定理3 设fx=a0+a1x+…+anxn,an≠0是一个整系数多项式,若找到一个素数p,使Р⑴p与an不可约;Р⑵p与an-1,an-2,⋯,a0是可约的;Р⑶p2与a0不可约,Р那么多项式f(x)在有理数域上不可约.Р证明:如果Рa0=-p1p2⋯pn,a1=a2=⋯=an-1=0,an=1Р可找到素数p1满足Рp|ai,i=0,1,⋯n-1, p1|an,p12|a0Р所以,根据爱森斯坦(Eisentein) 判别法可知,f(x)在有理数域上不可约[[] Wang P S,Veinberger B M.Factoring Multivariate of Rational Function Algerbraic Number Integers[J].Mathematisch putation,1979,29(131):32-39.Р].Р特别注意的是,爱森斯坦判别法的条件只是充分条件,即满足三个条件的多项式不可约.