中的多项式在上是否可约,与它在上是否可约是一回事。定理1.2.3若是一个整系数n(n>0)次多项式在有理数域上可约,那么总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。证明:设这里与都是有理数域上的次数小于n的多项式。令的系数的公分母是.那么=,这里是一个整系数多项式。又令的系数的最大公因数是那么这里是一个有理数而是一个本原多项式。同理,这里是一个有理数而是一个本原多项式。于是其中与是互素的整数,并且。由于是一个整系数多项式所以多项式的每一系数与的乘积都必须被整除。但与互素,所以的每一个系数必须被整除,这就是说,是多项式的每系数的一个公因数。但是一个本原多项式,因此而和显然各与和有相同的次数,这样,可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。1.3不可约多项式的艾森斯坦判别法由上一节知令是整数环上一个大于零次的多项式。如果在整数环上可约,即存在整数环上次数都小于次数的多项式,,使得=,那么,,自然可以看成有理数域上的多项式,这表明在有理数域上是可约的。反过来,如果在有理数域上是可约的,那么在整数环上也一定可约。判别一个整系数多项式是否不可约,是一件极其困难和复杂的事情。下面的结果,给出了多项式为不可约的一个充分条件,用处相当广泛。定理1.3.1(艾森斯坦判别法)设是一个整系数多项式,其中。如果存在一个素数,使得,,但,在上不可约(从而在上也不可约)。设有两个(非常数)整系数多项式:及使。因被整除,但不被整除,故与中恰有一个被整除,无妨设,又不被整除。故。现在可取最小的下标r使,显然,又因,而和式中其余项都被整除,故,这与定理中条件矛盾,证毕。例2多项式,取素数显然满足Eisenstein判别法的三个条件,因而在有理数域上不可约。2多项式的有理根及因式分解2.1多项式在有理数域上的性质定理2.1.1设为一个整系数多项式,且有一个奇数和一个偶数使得和均为奇数,则无整数根。
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