心,作圆周,使以它为边界的闭圆盘含在D内,并且任意两个这样的闭圆盘彼此不相交.从D中除去以这些为边界的闭圆盘得到一个区域,其边界是C以及(,2,…,).在内解析,在上连续.因此由文献[1]中的柯西积分定理推广到复围线的情形,我们有,而,所以.三、柯西留数定理的应用(一)辐角原理在介绍该原理之前,先看下面的两个引理.由留数的相关概念,易得:引理1(1)设为的级零点,则必为的一级极点,并且;(2)设为的级极点,则必为的一级极点,并且.引理2假设(1)为一条围线,在的内部是亚纯的,且连续到;(2)在上不为零;则函数在的内部只有有限个零点和极点.由上述的两个引理,易证:定理1假设(1)为一条围线,在的内部是亚纯的,且连续到;(2)在上不为零;则:①其中与分别表示在内部零点的个数与奇点的个数(一个级零点算作个零点,一个级奇点算作个奇点).为了进一步说明①式的意义,我们给出下面的定理.定理2(辐角原理)假设(1)是一条围线,在的内部是亚纯的,且连续到;(2)在上不为零;则,其中表示沿的正向绕行一周时,函数辐角的改变量.特别若在内部解析,则.下面就辐角原理的具体应用,结合实例具体分析.例1设,,用辐角原理证明在的内部有3个根.解在曲线上没有零点,在内解析,在内部有3个零点,而没有奇点,所以.另一方面.于是.由此可以看出,在一些题目的计算中,辐角原理是个很便捷而有效的工具.而其中一个较重要的应用就是儒歇定理,它在考察零点分布时会起到很大的作用.下面就儒歇定理的应用做具体介绍.定理3(儒歇定理)设是一条周线,函数及满足条件:(1)它们在的内部均解析,且连续到;(2)在上,;则函数与在的内部有同样多(几阶算作几个)的零点,即.例2设在内部解析,且连续到,在上.试证:在内部只有一个点使.证设,则在上有由儒歇定理知,与在内零点个数相同,而在内只有一个零点,所以在内有且只有一个零点,记为,使得,即.
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