以确定唯一的一个区间套,从而唯一地确定一个实数.Р1.1.3实数公理Р公理1 (域公理),有Р(1) 交换律:,;Р(2) 结合律:,Р;Р(3) 分配律:;Р(4) 两个特殊元素0与1:,有Р,;Р(5) 每个,关于“+”的逆元,关于“·”的逆元(此时),有Р,Р公理2(全序公理)与“+”、“·”运算相容的全序公理Р(1) ,下列三种关系Р,,Р有且仅有一个成立;Р(2) 传递性:若,,则;Р(3) 与“+”相容性:若,则,有;Р(4) 与“·”相容性:若,,则.Р公理3(阿基米德(Archimedes)公理),,,使得.Р公理4(完备性公理)有上界非空数集必有上确界.Р1.1.4实数集的连通性Р实数集中有关区间的准确定义:如果的子集中至少包含有两个点,而且如果则有Р子集被称为是一个区间Р我们熟知,在实数集中的区间可以分为以下9类:Р,,,,Р, ,,Р因为,一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间;另方面,若是为一个区间,我们可以看作有无下(上)界,和在有下(上)界的情况下看做其下(上)确界究竟能否属于,而把纳入到上述9类之一Р实数空间是一个连通空间.因为区间,和都同胚于,所以这些区间也都是连通的;由于Р Р, Р可见区间,,,和都是连通的.Р此外还有,如果是的一个子集,并且它包含着不少于两个点.如果不是一个区间,则,也就是说,存在,使得;从而,若令Р于是可得到和均是的非空开集,还有与空集,所以不连通.Р定义1 把实数集分成两个子集,使满足:Р(1)至少包含一个实数;Р(2)每一实数或属于,或属于;Р(3)任一属于的实数,小于属于的实数;Р(4)中无最大数.Р则称为实数的一个分划,记作,称为分化的下类,称为分化的上类.Р定理1(戴德金定理) 设为以实数分划,则必有最小数.Р论述到此,我们有上述得到了实数集是全序域,并且还是连通集,我们把此连通的域称为是实数空间,仍用记号
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