留数定理在定积分中的应用

(=1,2,3,…,)则有.Р例3 计算.Р解取,Р孤立点为,其中落在上半平面的为,,故Р。Р例4 计算.Р解由于,且上半平面只有一个极点,因此Р Р .Р2.3 形如型的积分Р2.3.1留数公式Р定理2 (若尔当引理)设函数沿半径圆周()上连续,且在上一致成立,则.Р证明,使当时,有Р于是(2)Р这里利用了以及Р于是由若尔当不等式()将(2)化为Р Р即.Р2.3.2举例Р例5 计算.Р解不难验证,函数满足若尔当引理条件.Р这里,,函数有两个一阶极点及,Р于是Р Р .Р2.4 形如和型积分Р定理3 设,其中和是互质多项式,并且符合条件:Р(1)的次数比的次数高;Р(2)在实轴上;Р(3).Р则有(3)Р特别地,将(3)式分开实虚部,就可用得到形如Р及的积分.Р例6 计算.Р解利用以及若尔当引理,且分母在上半圆只有两个孤立奇点和,得到Р Р Р Р .Р例7 计算().Р解被积函数为偶函数,所以Р,Р设函数关系式为,它共有四个一阶极点,即Р()Р得(),Р因为,所以在上半面只有两个一阶极点及,于是Р ,Р故Р .Р3.小结Р上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型,计算比较简捷,通过上面几例,可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既有区别,也有联系.解题时应视具体情况而定,有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时,利用留数定理能收到很好的效果.Р参考文献Р[1]钟玉泉.复变函数论[M]高等教育出版社,2004.Р[2]盖云英.复变函数与积分变换指导[M]科学出版社,2004.Р[3]王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解[M]中国时代经济出版社,2008.Р[4]王瑞苹.论留数与定积分的关系[J]菏泽学院学报,2005.Р[5]余家荣. 复变函数论[M]高等教育出版社,2004.Р[6]李红,谢松发.复变函数与积分变换[M]华中科技大学,2003.